Kopie nach H. Luckner
Bärensprung besuchte das Gymnasium zum Grauen Kloster und studierte Rechts- und Staatswissenschaft in Erlangen und Göttingen. 1803 kehrte er nach Berlin zurück und war an der Kurmärkischen Kammer tätig. Danach stellte er im Militärgouvernement Berlin Freiwilligenverbände für den Befreiungskampf gegen Napoleon auf. Am 23. 6. 1814 wurde Bärensprung in Berlin zum Bürgermeister gewählt. Unter Oberbürgermeister Johann Stephan Gottfried Büsching (1761–1833) war er 18 Jahre zweiter Mann im Berliner Magistrat und befaßte sich mit der Neuregelung des Gerichtswesens und der Grenzziehung zu den Kreisen Teltow und Niederbarnim. Zudem förderte er die 1824 gegründete Gewerbeschule, einen bis dahin in Berlin nicht existierenden Schultyp, der zum vorbild für die späteren preußischen Oberrealschulen wurde. 1831 wurde er zum Oberbürgermeisters gewählt. Seine Amtszeit war überschattet von dem Streit um sein Amtsverständnis. Während die bisherigen Oberbürgermeister sich im Magistrat von Berlin als primus inter pares verstanden, bestand Bärensprung darauf, den Magistratsmitgliedern Anweisungen erteilen zu können.
1834 schied er aus dem Amt und ging in den Ruhestand. Er wohnte Oranienburger Straße 76. Eine Gedenktafel am Roten Rathaus für die Oberbügermeister erinnert seit 1809 an sein Wirken.